1. Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil.
Pembahasan: Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n-1 atau x=2n+1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x2 = (2n - 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2)+1= 2m + 1
Keterangan : 2n2+2 diibaratkan sebagai m, karena adanya sifat ketertutupan operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat. Penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat.
2. Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah
Pembahasan : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil (p → q)
15 habis dibagi 3 (p )
∴ 15 adalah bilangan ganjil ( q)
3. misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). p(n + 1) bernilai
Pembahasan : jika p(n + 1) benar, maka :
n = n + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n + 1) = n + 1(n + 1 + 1)
2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)
2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2
= n2 + n + 2n + 2
= n2 + 3n + 2
= (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar.
4, Penyelesaian dari 6x + 8y = 21 dan 3x + 4y = 7 dengan metode eleminasi adalah
Pembahasan : 6x + 8y = 21 --> 6x + 8y = 21
3x + 4y = 7 --> 6x + 8y = 14 -(persamaan kedua dikalikan dengan 2)
0 = 7
5.Sebutkan 5 metode pembuktian
Pembahasan : 1.Metode Pembuktian langsung
2.Metode Pembuktian tak langsung
3.Metode Kontradiksi
4.Metode “Bukti Kosong”
5.Metode Pembuktian Trivial
6. Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A ∈ B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x ∈ A maka x ∈ B”. Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun.
Pembahasan : Misalkan A = ∅ suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Kita akan tunjukkan bahwa pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B” bernilai benar. Karena A himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x ∈ A selalu bernilai salah karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B”, yaitu A ∈ B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai
7. Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
Pembahasan :
(i) Basis Induksi: Untuk n = 1, Perhatikan 1 = 12 (Benar).
(ii) Langkah Induksi: Andaikan untuk n ≥ 1 pernyataan:
1 + 3 + … + (2n-1) = n2 adalah suatu yang benar.
Akan ditunjukkan benar untuk 1 + 3 + … + (2n-1) + (2n +1) = (n + 1)2
Perhatikan bahwa 1 + 3 + … + (2n-1) + (2n +1) = [1 + 3 + … + (2n-1)] + (2n +1)
= n2 + 2n + 1
= (n+1)2
8. Buktikan N3 + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n
Pembahasan :
Untuk n = 1 akan diperoleh:13 + 2(1) = 3 yg merupakan kelipatan 3 (Berlaku)
Misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x
Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (Berlaku kelipatan 3).
9.Buktikan 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2
Pembahasan : Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga
n = 2k + 1.
5 = 2(2) + 1
5 = 4 + 1
5 = 5
10. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 < (1-x) .
Pembahasan : Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 < (1-x) . selalu benar untuk setiap x bilangan real termasuk x di dalam interval (0, 1) maka secara otomatis kebenaran pernyataan ini terbukti.
